MATLAB 积分

积分涉及两种基本不同的问题。

• 在第一类问题中，给出了一个函数的导数，我们想找到这个函数。因此，我们基本上逆转了微分过程。这个逆转过程被称为反积分，或者找到原函数，或者找到无限积分。
• 第二类问题涉及将大量非常小的量相加，然后取量的大小趋近于零，而项数趋近于无穷大的极限。这个过程导致了定积分的定义。

定积分用于找到面积，体积，重心，转动惯量，力所做的功以及许多其他应用。

使用MATLAB找到不定积分

根据定义，如果函数f(x)的导数是f'(x)，那么我们说f'(x)对x的不定积分是f(x)。例如，由于x2的导数（对x）是2x，我们可以说2x的不定积分是x2。

用符号表示

f'(x2)=2x，因此，∫ 2xdx = x2。

不定积分不是唯一的，因为对于任何常数c的x2 + c的导数也将是2x。

这用符号表示为- ∫ 2xdx = x2 + c。

其中c称为“任意常数”。

MATLAB提供了一个int命令来计算表达式的积分。为了导出函数的不定积分的表达式，我们写入

int(f)；

例如，从我们以前的例子中

syms x
int(2*x)

MATLAB执行上述语句并返回以下结果

ans =
x^2

例1

在此示例中，让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并输入以下代码

syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(nt)'
int(sym(f))
syms a t
int(acos(pi*t))
int(a^x)

运行文件后，它显示以下结果

ans =
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(nt)
ans =
-cos(nt)/n
ans =
(asin(pit))/pi
ans =
a^x/log(a)

例2

创建一个脚本文件并输入以下代码

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5cos(5x))
pretty(int(x^5cos(5x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5x -6x^2 - 7x^3)/2x^2)
pretty(int((3 + 5x -6x^2 - 7x^3)/2x^2))

请注意 ，pretty 函数以更易读的格式返回表达式。

当运行该文件时，它会显示以下结果

ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

使用MATLAB进行定积分计算

根据定义，定积分基本上是一组总和的极限。我们使用定积分来找到区域，例如曲线和x轴之间的区域以及两条曲线之间的区域。定积分还可以用于其他情况，其中所需的数量可以表示为总和的极限。

int函数可以用于定积分，通过传递要计算积分的范围来使用它。

要计算 ，我们编写

definite integral
int(x, a, b)

例如，要计算下面定积分的值，

我们编写

int(x, 4, 9)

MATLAB执行上述语句并返回以下结果

ans =
65/2

以下是上述计算的Octave等效形式

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果

Area:
32.500

可以使用Octave提供的quad()函数给出另一种解决方案，如下所示

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果

Area:
32.500

例1

让我们计算x轴和曲线y = x3−2x+5以及纵坐标x = 1和x = 2之间的封闭区域的面积。

所需的面积为

创建一个脚本文件并输入以下代码

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

当运行该文件时，它会显示以下结果

a =
23/4
Area:
5.7500

以下是上述计算的Octave等效形式

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果

Area:
5.7500

可以使用Octave提供的quad()函数给出另一种解决方案，如下所示

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果

Area:
5.7500

例2 找到曲线下的面积：f(x) = x2 cos(x)，其中**-4≤x≤9**。

创建一个脚本文件并编写以下代码

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

当运行该文件时，MATLAB 会绘制图形

输出如下

a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326

以下是上述计算的Octave等效形式

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));