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本文将解释矩阵求逆及其使用 C++ 的实现。 为了方便理解C++的实现，我们首先需要理解矩阵逆的概念。

矩阵的逆

求矩阵的逆矩阵需要三个步骤。 下面给出步骤的解释。

• 第一步，计算给定矩阵的行列式。
• 在第二步中，如果行列式不等于零，则计算给定矩阵的伴随。
• 最后，将步骤2中得到的矩阵乘以1/行列式。

矩阵逆的数学公式

令 S 为 3 x 3 矩阵。 那么求其倒数的公式如下。

下面是一个用 C++ 求 3x3 阶矩阵的逆矩阵的程序。 为了简单起见，我们使用数组来存储矩阵。

仅当矩阵非奇异时，程序才会找到矩阵的逆。 我们可以通过以下性质来验证我们的答案。

这里 I 是单位矩阵，其对角线中的条目为 1。 如果上述性质成立，我们的答案就是正确的； 否则为假。

拟议的程序分为多个模块。

3x3 矩阵逆矩阵的 C++ 实现

矩阵逆可以使用向量、模板和类来实现。 然而，为了简单起见，我们将使用 2D 数组来确定 3x3 矩阵的逆矩阵。

然后可以将该解决方案推广到求 NxN 矩阵的逆矩阵。

我们来一一解释一下该程序的组成部分。

主函数

int main()  // main function
{
    float matrix3X3[3][3];
    int r,c;
    float determinant=0;
    for(r = 0; r < 3; r++){
        for(c = 0;  c< 3; c++){
            cout<<"Enter the value at index ["<<r<<"]["<<c<<"] : ";
            cin>>matrix3X3[r][c];
        }
    }
    display(matrix3X3);
    determinant=findDeterminant(matrix3X3);
    cout<<"\n\nDeteterminant of the given matrix is : "<<determinant;
    if(determinant!=0){
        adjoint(matrix3X3);
        inverse(matrix3X3,determinant);
    }
    else
    {
        cout<<" As the determinant of the given matrix is 0, so we cannot take find it's Inverse :";
    }
}

在主函数中，我们创建了要求其逆矩阵。 然后，我们应用条件检查来确定矩阵是否奇异。

如果非奇异，则将通过函数计算矩阵的逆。 这是我们创建的每个函数的解释。

Display 函数

void display(float matrix3X3[][3]){
    printf("\nThe Elements of the matrix are :");
    for(int r = 0; r < 3; r++){
        cout<<"\n";
        for(int c = 0; c < 3; c++){
            cout<<matrix3X3[r][c]<<"\t";
        }
    }
}

显示函数用于显示矩阵。 这里matrix3X3是要显示其值的矩阵。

行列式计算功能

float findDeterminant(float matrix3X3[][3]){
    float det=0; // here det is the determinant of the matrix.
    for(int r = 0; r < 3; r++){
        det = det + (matrix3X3[0][r] * (matrix3X3[1][(r+1)%3] * matrix3X3[2][(r+2)%3] - matrix3X3[1][(r+2)%3] * matrix3X3[2][(r+1)%3]));
    }
    return det;
}

findDeterminant 函数用于查找矩阵的行列式。 这里，det是矩阵matrix3X3行列式。

看到行列式后，我们可以得出矩阵逆是否可能的结论。

Adjoint 函数

void adjoint(float matrix3X3[][3]){
    cout<<"\n\nAdjoint of matrix is: \n";
    for(int r = 0; r < 3; r++){
        for(int c = 0; c < 3; c++){
            cout<<((matrix3X3[(c+1)%3][(r+1)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+2)%3]) - (matrix3X3[(c+1)%3][(r+2)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+1)%3]))<<"\t";
        }
        cout<<endl;
    }
}

伴随函数用于求矩阵的伴随函数。 找到伴随矩阵后，我们将其与行列式的倒数相乘以求逆矩阵。

Inverse 函数

void inverse(float matrix3X3[][3],float d){
        cout<<"\n\nInverse of matrix is: \n";
        for(int r = 0; r < 3; r++){
            for(int c = 0; c < 3; c++){
                cout<<((matrix3X3[(c+1)%3][(r+1)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+2)%3]) - (matrix3X3[(c+1)%3][(r+2)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+1)%3]))/d<<"\t";
            }
            cout<<endl;
        }
    }

最后，使用逆函数计算矩阵的逆。 在此函数中，将伴随矩阵的每个条目除以行列式以找到矩阵逆矩阵。

现在让我们看一下 3x3 矩阵逆矩阵的完整代码。

完整的C++程序

#include<iostream>
using namespace std;
void display(float matrix3X3[][3]){
    printf("\nThe Elements of the matrix are :");
    for(int r = 0; r < 3; r++){
        cout<<"\n";
        for(int c = 0; c < 3; c++){
            cout<<matrix3X3[r][c]<<"\t";
        }
    }
}
// This function will calculate the determinant of the given matrix
float findDeterminant(float matrix3X3[][3]){
    float det=0; // here det is the determinant of the matrix.
    for(int r = 0; r < 3; r++){
        det = det + (matrix3X3[0][r] * (matrix3X3[1][(r+1)%3] * matrix3X3[2][(r+2)%3] - matrix3X3[1][(r+2)%3] * matrix3X3[2][(r+1)%3]));
    }
    return det;
}
// This function will calculate the adjoint of the given matrix
void adjoint(float matrix3X3[][3]){
    cout<<"\n\nAdjoint of matrix is: \n";
    for(int r = 0; r < 3; r++){
        for(int c = 0; c < 3; c++){
            cout<<((matrix3X3[(c+1)%3][(r+1)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+2)%3]) - (matrix3X3[(c+1)%3][(r+2)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+1)%3]))<<"\t";
        }
        cout<<endl;
    }
}
// This function will find the Inverse of the given matrix
void inverse(float matrix3X3[][3],float d){
        cout<<"\n\nInverse of matrix is: \n";
        for(int r = 0; r < 3; r++){
            for(int c = 0; c < 3; c++){
                cout<<((matrix3X3[(c+1)%3][(r+1)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+2)%3]) - (matrix3X3[(c+1)%3][(r+2)%3] * matrix3X3[(c+2)%3][(r+1)%3]))/d<<"\t";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
int main()  // main function
{
    float matrix3X3[3][3];
    int r,c;
    float determinant=0;
    for(r = 0; r < 3; r++){
        for(c = 0;  c< 3; c++){
            cout<<"Enter the value at index ["<<r<<"]["<<c<<"] : ";
            cin>>matrix3X3[r][c];
        }
    }
    display(matrix3X3);
    determinant=findDeterminant(matrix3X3);
    cout<<"\n\nDeteterminant of the given matrix is : "<<determinant;
    if(determinant!=0){
        adjoint(matrix3X3);
        inverse(matrix3X3,determinant);
    }
    else
    {
        cout<<" As determinant of the given matrix is 0, so we cannot take find it's Inverse :";
    }
}

当矩阵为奇异矩阵时，我们的算法不会计算矩阵的逆。

当矩阵非奇异时，我们的算法仅在矩阵非奇异时才计算逆矩阵。