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%*% 运算符用于矩阵乘法。在相同长度的向量中，此运算符给出点积。

在本文中，我们将通过一些简单的示例来探索该运算符的使用。

R 中的矩阵及其维数

矩阵是数字的矩形数组。它就像一个数字表，有行和列。

以下代码使用相同的 12 个数字创建并显示四个矩阵。

示例代码：

# First, we will create a vector of numbers.
# These 12 numbers are what we will place in our matrices.
v = 7:18

# Matrix with 2 rows and 6 columns.
matrix(v, nrow=2)
dim(matrix(v, nrow=2))

# Matrix with 3 rows and 4 columns.
matrix(v, nrow=3)
dim(matrix(v, nrow=3))

# Matrix with 4 rows and 3 columns.
matrix(v, nrow=4)
dim(matrix(v, nrow=4))

# Matrix with 6 rows and 2 columns.
matrix(v, nrow=6)
dim(matrix(v, nrow=6))

输出：

> # Matrix with 2 rows and 6 columns.
> matrix(v, nrow=2)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    7    9   11   13   15   17
[2,]    8   10   12   14   16   18
> dim(matrix(v, nrow=2))
[1] 2 6
> # Matrix with 3 rows and 4 columns.
> matrix(v, nrow=3)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    7   10   13   16
[2,]    8   11   14   17
[3,]    9   12   15   18
> dim(matrix(v, nrow=3))
[1] 3 4
> # Matrix with 4 rows and 3 columns.
> matrix(v, nrow=4)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    7   11   15
[2,]    8   12   16
[3,]    9   13   17
[4,]   10   14   18
> dim(matrix(v, nrow=4))
[1] 4 3
> # Matrix with 6 rows and 2 columns.
> matrix(v, nrow=6)
     [,1] [,2]
[1,]    7   13
[2,]    8   14
[3,]    9   15
[4,]   10   16
[5,]   11   17
[6,]   12   18
> dim(matrix(v, nrow=6))
[1] 6 2

我们在上面创建的每个矩阵都有不同的行数和列数。

矩阵由其行数和列数描述；这称为它的维度。具有 m 行和 n 列的矩阵称为 m x n 矩阵，读作 m × n。

我们创建的矩阵具有以下尺寸：2x6、3x4、4x3 和 6x2。

使用 %*% 运算符在 R 中将矩阵相乘

仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才定义矩阵乘法。当满足这个条件时，我们可以使用 %*% 运算符按顺序将这两个矩阵相乘，并且乘积也是一个矩阵。

乘积矩阵的行数与第一个矩阵一样多，列数与第二个矩阵一样多。

示例代码：

# First, we will create two matrices for which multiplication is defined.
Ist = matrix(v, ncol=3)
Ist

IInd = matrix(v, nrow=3)
IInd

# Find the product matrix.
Ist %*% IInd

输出：

> # First, we will create two matrices for which multiplication is defined.
> Ist = matrix(v, ncol=3)
> Ist
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    7   11   15
[2,]    8   12   16
[3,]    9   13   17
[4,]   10   14   18
> IInd = matrix(v, nrow=3)
> IInd
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    7   10   13   16
[2,]    8   11   14   17
[3,]    9   12   15   18

> # Find the product matrix.
> Ist %*% IInd
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]  272  371  470  569
[2,]  296  404  512  620
[3,]  320  437  554  671
[4,]  344  470  596  722

我们将看另一个有效矩阵乘法的示例和两个未定义矩阵乘法的示例。

示例代码：

# A 3 x 2 matrix.
IInd_b = matrix(20:25, nrow=3)
IInd_b

# A 2 x 6 matrix.
Ist_b = matrix(v, nrow=2)
Ist_b

# Matrix multiplication is defined between Ist and IInd_b.
Ist %*% IInd_b

# Multiplication is NOT defined in the following two cases.
IInd_b %*% Ist
Ist_b %*% IInd_b

输出：

> # A 3 x 2 matrix.
> IInd_b = matrix(20:25, nrow=3)
> IInd_b
     [,1] [,2]
[1,]   20   23
[2,]   21   24
[3,]   22   25

> # A 2 x 6 matrix.
> Ist_b = matrix(v, nrow=2)
> Ist_b
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    7    9   11   13   15   17
[2,]    8   10   12   14   16   18

> # Matrix multiplication is defined between Ist and IInd_b.
> Ist %*% IInd_b
     [,1] [,2]
[1,]  701  800
[2,]  764  872
[3,]  827  944
[4,]  890 1016

> # Multiplication is NOT defined in the following two cases.
> IInd_b %*% Ist
Error in IInd_b %*% Ist : non-conformable arguments

> Ist_b %*% IInd_b
Error in Ist_b %*% IInd_b : non-conformable arguments

使用 %*% 运算符获取 R 中向量的点积

向量由它们的长度和类别（和类型）来描述。

示例代码：

# Create a vector.
vtr = c(11,22,33)

# Check that it is a vector.
is.vector(vtr)

# Length of the vector.
length(vtr)

# Class of the vector.
class(vtr)

# Type of the vector.
typeof(vtr)

输出：

> # Create a vector.
> vtr = c(11,22,33)

> # Check that it is a vector.
> is.vector(vtr)
[1] TRUE

> # Length of the vector.
> length(vtr)
[1] 3

> # Class of the vector.
> class(vtr)
[1] "numeric"
> # Type of the vector.
> typeof(vtr)
[1] "double"

向量的长度是其中元素（数字）的数量。

当我们使用 %*% 运算符将两个相同长度的向量相乘时，我们得到向量的点积。R 隐含地将第一个向量视为行矩阵，将第二个向量视为列矩阵，并为我们提供乘积矩阵。

它返回一个 1x1 矩阵而不是一个标量。我们可以使用 is.vector() 和 is.matrix() 函数来验证这一点。

在下面的代码中，我们将首先获得两个相同长度的向量之间的点积。然后，我们将使用一致维度的矩阵得到相同的结果。

示例代码：

# Four-element vectors.
V_I = 22:25
V_II = 2:5

# Dot product of vectors of the same dimension.
V_I %*% V_II

# Check the input and output.
is.vector(V_I)
is.matrix(V_I)
is.vector(V_I %*% V_II)
is.matrix(V_I %*% V_II)

# Create matrices of conformable dimensions (where matrix multiplication is defined).
m_I = matrix(V_I, nrow=1)
m_I
m_II = matrix(V_II, ncol=1)
m_II
# Matrix product.
m_I %*% m_II

输出：

> # Four-element vectors.
> V_I = 22:25
> V_II = 2:5

> # Dot product of vectors of the same dimension.
> V_I %*% V_II
     [,1]
[1,]  334

> # Check the input and output.
> is.vector(V_I)
[1] TRUE
> is.matrix(V_I)
[1] FALSE
> is.vector(V_I %*% V_II)
[1] FALSE
> is.matrix(V_I %*% V_II)
[1] TRUE

> # Create matrices of conformable dimensions (where matrix multiplication is defined).
> m_I = matrix(V_I, nrow=1)
> m_I
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]   22   23   24   25
> m_II = matrix(V_II, ncol=1)
> m_II
     [,1]
[1,]    2
[2,]    3
[3,]    4
[4,]    5
> # Matrix product.
> m_I %*% m_II
     [,1]
[1,]  334

如果向量的长度不同，我们就无法计算点积。

示例代码：

# A three-element vector.
V_II_b = 6:8

# Dot product is not possible.
V_I %*% V_II_b

输出：

> # A three-element vector.
> V_II_b = 6:8

> # Dot product is not possible.
> V_I %*% V_II_b
Error in V_I %*% V_II_b : non-conformable arguments

结论

对于乘法的一致矩阵，%*% 返回乘积矩阵。对于相同长度的向量，它将点积作为 1x1 矩阵返回。